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domingo, 1 de noviembre de 2015
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Ejercicios fáciles
Cuando h tiende a 0, el punto Q tiende a confundirse con
el P. Entonces la recta secante tiende a ser la recta tangente a la función
f(x) en P, y por tanto el ángulo α tiende a ser β.
Calculo de las derivadas de las funciones:
1.) F(x)= 5
F´(x)= 0
2.) F(x)= -2x
F´(x)= -2
3.) F(x)= -2x+2
F´(x)= -2
4.) F(x)= -2x^2-5
F´(x)= -4x
5.) F(x)= 2x^4+x^3-x^2+4
F´(x)= 8x^3+3x^2-2x
6.) F(x)= x^3+2 / 3
F´(x)= x^2
7.) F(x)= 1 / 3x^2
F´(x)= -6x /(3x^2)^2 ---> -6x / 9x^4 ----> -2 / 3x^3
8.) F(x)= x+1 / x-1
F´(x)= 1.(x-1)-(x+1).1 / (x-1)^2 ----> -2 / (x-1)^2
9.) F(x)= (5x^2-3).(x^2+x+4)
F´(x)= 10x(x^2+x+4)+(5x^2-3).(2x+1)= 20x^3+15x^2+34x-3
Reglas de derivación
REGLAS PARA DERIVAR:
1.) La
derivada de un número constante es siempre igual a cero.
F(x)=
k ------> F´(x)= 0 , k es constante
Ej: F(x)=
3 ------> F´(x)= 0
2.)
Derivada de una constante por una variable.
F(x)= k.(x) -----> F´(x)= k
Ej: F(x)= 3.(x)
-----> F´(x)= 3
3.) Derivada de una constante por una variable elevada a la
n, es igual a la potencia por la constante por la variable, ahora, a la
potencia de la variable se le resta 1.
F(x)= k.(x)^n -----> F´(x)= n.k.x^n-1
Ej: F(x)= 9.(x)^3
-----> F´(x)= 3.(9).(x)^3-1 -----> F´(x)= 27x^2 ---> esta es la
derivada final.
4.) Derivada de una suma o resta de derivadas.
F(x)= g(x) + h(x) -----> F´(x)= g´(x) + h´(x),
g(x) y h(x) son derivadas.
Ej: F(x)= 3x^3 -
5x^2 + 3x +4 -----> F´(x)= 9x^2 - 10x +3
5.) La
derivada de una variable elevada a una potencia es igual a las veces de la
potencia de la derivada de la misma variable elevada a una potencia reducida
por uno. Esta regla es mejor conocida por el nombre de la regla de la potencia.
Es esencial que n sea un número real para que la propiedad anterior sea cierta.
F(x)= [g(x)]^n -----> F´(x)= n [g(x)]^n-1 . (g´(x))
Ej: F(x)= [(3x^5)]^2 -----> F´(x)= 2 [(3x^5)]^2-1
. (15x^4) ----> 6x^5.(15x^4)= 90x^4
Para tener en
cuenta: (g´(x))= 5.(3)x^5-1= 15x^4
6.) Derivada de un producto o multiplicación.
F(x)= g(x). h(x) -----> F´(x)= g´(x). h(x) + g(x). h´(x)
Ej: F(x)= (3x^2-5x).(3x^2)
g(x)= (3x^2-5x) ---> g´(x)= 6x-5
h(x)= (3x^2) ---> h´(x)= 6x
F´(x)= (6x-5).(3x^2) + (3x^2-5x).(6x)
= 18x^3 – 15x^2
+ 18x^3 – 30x^2
= 36x^3 – 45x^2
7.) Derivada de un cociente o división.
F(x)= g(x) / h(x)
F´(x)= g´(x). h(x) – g(x). h´(x) / (h(x))^2
Ej: F(x)= -5x^3 / (2x^2-x)
F´(x)= -15x^2. (2x^2-x) – (-5x^3).(4x-1) / (2x^2-x) ^2
g´(x)= -15x^2
h´(x)= 4x-1
F´(x)= -30x^4 + 15x^3 + 5x^3. (4x-1) / (2x^2-x). (2x^2-x)
= -30x^4 + 15x^3
+ 20x^4 - 5x^3 / 4x^2-2x^3-2x^3+x^2
= -10x^4 +
10x^3 / 4x^4 – 4x^3 + x^2
Concepto de derivada
La derivada de la función
f(x) en el punto x = a es el valor del límite, si existe, de un cociente
incremental cuando el incremento de la variable tiende a cero.
Las derivadas:
1. ) Determinan la rapidez de variación de una función.
2. ) Geométricamente es la Pendiente de la recta tangente a la curva (P.R.T.C)
3. ) Se emplea en el análisis para problemas de máximos, mínimos, concavidades, rapidez instantánea, entre otras.
Para tener en cuenta:
- Deben de tenerse en cuenta los casos de factorización.
- Se debe conocer las reglas de derivación para la realización de ejercicios.
Formulas a tener en cuenta:
1. a^-n = 1/a^n
2.a^b/c = \c/a^b -----> \c/, quiere decir raíz c.
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